Lesson 4 Number System (Hindi medium)

 

1. आप संख्या प्रणाली से क्या समझते हैं? दशमलव और द्विआधारी संख्या प्रणाली को समझाएं।

उत्तर: संख्या प्रणाली एक तरीके से संख्याओं को प्रतीकों या अंकों के सेट का उपयोग करके प्रदर्शित करने का तरीका है। यह परिभाषित करता है कि संख्याएँ कैसे लिखी जाती हैं और समझी जाती हैं। विभिन्न संख्या प्रणालियाँ होती हैं, जो उनके द्वारा उपयोग किए जाने वाले आधार के अनुसार होती हैं।

दशमलव संख्या प्रणाली:

यह सबसे सामान्य संख्या प्रणाली है, जिसका उपयोग हम दैनिक जीवन में करते हैं।
यह आधार 10 पर आधारित है, जिसका अर्थ है कि इसमें 10 अंक होते हैं: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, और 9।
संख्याओं में प्रत्येक अंक का स्थान मान उसकी स्थिति के अनुसार होता है, और स्थान मान 10 की शक्तियाँ होती हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 345 में, स्थान मान 3 × 100, 4 × 10, और 5 × 1 होते हैं।

द्विआधारी संख्या प्रणाली:

यह प्रणाली कंप्यूटरों और डिजिटल उपकरणों में उपयोग की जाती है।
यह आधार 2 पर आधारित है, जिसका अर्थ है कि इसमें केवल दो अंक होते हैं: 0 और 1।
द्विआधारी संख्या में प्रत्येक अंक का भी एक स्थान मान होता है, लेकिन स्थान मान 2 की शक्तियाँ होती हैं। उदाहरण के लिए, द्विआधारी संख्या 101 में, स्थान मान 1 × 4, 0 × 2, और 1 × 1 होते हैं, जो दशमलव में 5 के बराबर होते हैं।

ये संख्या प्रणालियाँ विभिन्न क्षेत्रों में मदद करती हैं, दैनिक गणनाओं से लेकर कंप्यूटर प्रसंस्करण तक।

2. आप डिजिटल और एनालॉग संचालन से क्या समझते हैं?

उत्तर: डिजिटल संचालन और एनालॉग संचालन डेटा को संसाधित और प्रस्तुत करने के विभिन्न तरीकों को संदर्भित करते हैं।

एनालॉग संचालन: एनालॉग संचालन निरंतर डेटा से संबंधित होते हैं, जहाँ मान एक सीमा के भीतर सहजता से भिन्न हो सकते हैं। इसका मतलब है कि मानों के बीच कोई निश्चित कदम नहीं होते।

एनालॉग संकेत अक्सर रेडियो या पुराने टीवी जैसे उपकरणों में उपयोग किए जाते हैं, जहाँ संकेत की अम्प्लीट्यूड या आवृत्ति में परिवर्तन होता है।

ये संचालन शोर या विकृति के प्रति संवेदनशील होते हैं क्योंकि वे निरंतर संकेतों के साथ काम करते हैं।

उदाहरण के लिए, एक थर्मामीटर तापमान को एक चिकनी वृद्धि या गिरावट के साथ दिखाता है, और एक हाथों वाला घड़ी समय को निरंतर प्रवाह में दिखाता है।

डिजिटल संचालन: डिजिटल संचालन अस्थिर, निश्चित मानों के साथ काम करते हैं, जिन्हें आमतौर पर द्विआधारी अंकों (0 और 1) द्वारा प्रदर्शित किया जाता है।

कंप्यूटर, कैलकुलेटर, और अधिकांश आधुनिक इलेक्ट्रॉनिक उपकरण जानकारी को संसाधित करने के लिए डिजिटल संचालन का उपयोग करते हैं।

एनालॉग संकेतों के विपरीत, डिजिटल संकेत शोर से कम प्रभावित होते हैं क्योंकि वे स्पष्ट, निश्चित मानों के साथ काम करते हैं।

उदाहरण के लिए, एक डिजिटल घड़ी विशिष्ट समय दिखाती है, बिना सेकंड के बीच में चिकनी संक्रमण के।

3. दशमलव आधार को अन्य आधार में परिवर्तित करने के लिए चरण लिखें। एक उदाहरण के साथ इसे स्पष्ट करें।

उत्तर: एक दशमलव (आधार 10) संख्या को दूसरे आधार (जैसे, द्विआधारी, आधार 2) में परिवर्तित करने के लिए इन चरणों का पालन करें:

परिवर्तन के लिए चरण:

1. दशमलव संख्या को नए आधार से विभाजित करें।
2. शेषांक को रिकॉर्ड करें (यह नए आधार में एक अंक होगा)।
3. कोटिएंट को फिर से नए आधार से विभाजित करें।
4. तब तक चरण 2 और 3 को दोहराएं जब तक कोटिएंट शून्य न हो जाए।
5. नए आधार में अंतिम परिणाम प्राप्त करने के लिए शेषांक को उल्टे क्रम में पढ़ें।

उदाहरण: 45 (दशमलव) को द्विआधारी (आधार 2) में परिवर्तित करें:
45 को 2 से विभाजित करें: कोटिएंट = 22, शेषांक = 1।
22 को 2 से विभाजित करें: कोटिएंट = 11, शेषांक = 0।
11 को 2 से विभाजित करें: कोटिएंट = 5, शेषांक = 1।
5 को 2 से विभाजित करें: कोटिएंट = 2, शेषांक = 1।
2 को 2 से विभाजित करें: कोटिएंट = 1, शेषांक = 0।
1 को 2 से विभाजित करें: कोटिएंट = 0, शेषांक = 1 (यहाँ रुकें क्योंकि कोटिएंट 0 है)।

अब, शेषांक को नीचे से ऊपर पढ़ें: 101101। इस प्रकार, 45 दशमलव में = 101101 द्विआधारी में।

4. हेक्साडेसिमल को द्विआधारी में परिवर्तित करने के लिए चरण लिखें।

उत्तर: एक हेक्साडेसिमल (आधार 16) संख्या को द्विआधारी (आधार 2) में परिवर्तित करने के लिए इन सरल चरणों का पालन करें:

परिवर्तन के लिए चरण:

1. हेक्साडेसिमल संख्या को लिखें।
2. प्रत्येक हेक्साडेसिमल अंक को उसके 4-बिट द्विआधारी समकक्ष में परिवर्तित करें (चूंकि 16 = 2⁴, प्रत्येक हेक्स अंक को 4 द्विआधारी अंकों द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है)।
3. अंतिम द्विआधारी संख्या बनाने के लिए सभी 4-बिट द्विआधारी समूहों को मिलाएं।

हेक्साडेसिमल से द्विआधारी तालिका:

हेक्साडेसिमल	द्विआधारी समकक्ष
0	0000
1	0001
2	0010
3	0011
4	0100
5	0101
6	0110
7	0111
8	1000
9	1001
A (10)	1010
B (11)	1011
C (12)	1100
D (13)	1101
E (14)	1110
F (15)	1111

उदाहरण: 3A7 (हेक्स) को द्विआधारी में परिवर्तित करें।

3 = 0011
A = 1010
7 = 0111

अब, द्विआधारी समूहों को मिलाएं: 0011 1010 0111।

इस प्रकार, 3A7 (हेक्स) = 001110100111 (द्विआधारी)।

5. ऑक्टल को दशमलव में परिवर्तित करने के लिए चरण लिखें।

उत्तर: एक ऑक्टल (आधार 8) संख्या को दशमलव (आधार 10) में परिवर्तित करने के लिए इन चरणों का पालन करें:

परिवर्तन के लिए चरण:

1. ऑक्टल संख्या को लिखें।
2. प्रत्येक अंक की स्थिति को लेबल करें, दाएं से शुरू करते हुए (सबसे दाएं अंक की स्थिति 0 है, अगला 1 है, और इसी तरह)।
3. प्रत्येक ऑक्टल अंक को 8 की शक्ति के साथ गुणा करें।
4. दशमलव समकक्ष प्राप्त करने के लिए सभी उत्पादों को एक साथ जोड़ें।

उदाहरण: 235 (ऑक्टल) को दशमलव में परिवर्तित करें।

ऑक्टल संख्या लिखें: 235।

पदों को लेबल करें:

2 स्थिति 2 पर है,
3 स्थिति 1 पर है,
5 स्थिति 0 पर है।

प्रत्येक अंक को उसकी स्थिति के साथ 8 की शक्ति से गुणा करें:

2 × 8² = 2 × 64 = 128,
3 × 8¹ = 3 × 8 = 24,
5 × 8⁰ = 5 × 1 = 5।

परिणाम जोड़ें: 128 + 24 + 5 = 157।

इस प्रकार, 235 (ऑक्टल) = 157 (दशमलव)।

6. आप लॉजिक गेट्स से क्या समझते हैं?
   उत्तर: लॉजिक गेट्स डिजिटल सर्किट के मूलभूत निर्माण खंड होते हैं। ये इलेक्ट्रॉनिक उपकरण हैं जो एक या अधिक बाइनरी इनपुट पर तार्किक ऑपरेशन करते हैं ताकि एक बाइनरी आउटपुट उत्पन्न हो सके। लॉजिक गेट्स दो अवस्थाओं में काम करते हैं: 0 (कम/बंद) और 1 (उच्च/चालू), और इनका उपयोग कंप्यूटर, कैलकुलेटर, और अन्य डिजिटल सिस्टम में डेटा प्रोसेस करने के लिए किया जाता है।

लॉजिक गेट्स के कई मूलभूत प्रकार होते हैं, प्रत्येक एक विशिष्ट कार्य करता है:

• AND गेट: यह केवल तभी 1 आउटपुट देता है जब सभी इनपुट 1 हों। अन्यथा, यह 0 आउटपुट देता है।
• OR गेट: यह तब 1 आउटपुट देता है जब कम से कम एक इनपुट 1 हो। यदि सभी इनपुट 0 हैं, तो यह 0 आउटपुट देता है।
• NOT गेट: इसे इन्वर्टर भी कहा जाता है। इसका एक इनपुट होता है और यह इनपुट को उलट देता है—यदि इनपुट 1 है, तो यह 0 आउटपुट देता है, और इसके विपरीत।
• NAND गेट: यह केवल तभी 0 आउटपुट देता है जब सभी इनपुट 1 हों। अन्यथा, यह 1 आउटपुट देता है (AND गेट के विपरीत)।
• NOR गेट: यह केवल तभी 0 आउटपुट देता है जब कम से कम एक इनपुट 1 हो। अन्यथा, यह 1 आउटपुट देता है (OR गेट के विपरीत)।
• XOR गेट: यह तभी 1 आउटपुट देता है जब ठीक एक इनपुट 1 हो, लेकिन यदि दोनों इनपुट समान हैं, तो यह 0 आउटपुट देता है।
• XNOR गेट: यह तभी 1 आउटपुट देता है जब दोनों इनपुट समान हों, और यदि वे भिन्न होते हैं, तो 0 आउटपुट देता है (XOR गेट के विपरीत)।

लॉजिक गेट्स गणितीय ऑपरेशन, निर्णय लेने की प्रक्रियाओं, और डिजिटल सिस्टम के नियंत्रण में आवश्यक होते हैं।

7. NAND और NOR लॉजिक गेट को समझाइए।
   उत्तर: NAND और NOR लॉजिक गेट के दो महत्वपूर्ण प्रकार हैं, जो बुनियादी लॉजिक ऑपरेशनों के संयोजन होते हैं।

• NAND गेट: NAND गेट का मतलब NOT AND होता है। यह AND गेट का विपरीत (नकारात्मकता) होता है। यह दो या अधिक इनपुट लेता है और 1 आउटपुट देता है जब तक सभी इनपुट 1 नहीं होते। यदि सभी इनपुट 1 होते हैं, तो आउटपुट 0 होता है।
  NAND गेट का सत्य सारणी:

इनपुट A	इनपुट B	आउटपुट (A NAND B)
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

NAND गेट बहुपरकारी होते हैं और किसी अन्य लॉजिक गेट को बनाने के लिए उपयोग किए जा सकते हैं, जिससे ये डिजिटल सर्किट में आवश्यक हो जाते हैं।

• NOR गेट: NOR गेट का मतलब NOT OR होता है। यह OR गेट का विपरीत (नकारात्मकता) होता है। यह दो या अधिक इनपुट लेता है और 1 आउटपुट देता है केवल तभी जब सभी इनपुट 0 हों। यदि कोई भी इनपुट 1 हो, तो आउटपुट 0 होता है।
  NOR गेट का सत्य सारणी:

इनपुट A	इनपुट B	आउटपुट (A NOR B)
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

जैसे NAND, NOR गेट भी अन्य लॉजिक गेट बनाने के लिए उपयोग किए जा सकते हैं, और ये डिजिटल डिजाइन में मौलिक होते हैं।
NAND और NOR गेट्स जटिल डिजिटल सिस्टम बनाने में कुंजी होते हैं।

8. निम्नलिखित अभिव्यक्ति का सत्य सारणी बनाइए:

(i) XY + 𝑋̅ 𝑌̅ 𝑍̅ + 𝑋̅ 𝑌̅ 𝑍

(ii) (X + Y) * (X + 𝑌̅ )

(iii) (xy + xy)
उत्तर: (i) XY + 𝑋̅ 𝑌̅ 𝑍̅ + 𝑋̅ 𝑌̅ 𝑍

इस अभिव्यक्ति में तीन चर हैं: X, Y, और Z। टर्म XY का मतलब है कि X और Y दोनों 1 हैं। टर्म 𝑋̅ 𝑌̅ 𝑍̅ तब दर्शाता है जब X, Y, और Z सभी 0 होते हैं।

सत्य सारणी:

X	Y	Z	XY	𝑋̅ 𝑌̅ 𝑍̅	XY + 𝑋̅ 𝑌̅ 𝑍̅
0	0	0	0	1	1
0	0	1	0	0	0
0	1	0	0	0	0
0	1	1	0	0	0
1	0	0	0	0	0
1	0	1	0	0	0
1	1	0	1	0	1
1	1	1	1	0	1

(ii) (X + Y) * (X + 𝑌̅ )

यह दो OR अभिव्यक्तियों का AND (गुणा) है। 𝑌̅ 𝑌 का मतलब Y का पूरक है।

सत्य सारणी:

X	Y	X + Y	𝑌̅	X + 𝑌̅	(X + Y) * (X + 𝑌̅)
0	0	0	1	1	0
0	1	1	0	0	0
1	0	1	1	1	1
1	1	1	0	1	1

(iii) (xy + xy)

इस अभिव्यक्ति में, xy का मतलब X और Y दोनों को AND करना है। यह अभिव्यक्ति सरल होती है क्योंकि इसमें वही टर्म दो बार है (यह xy लिखने के समान है)।

सत्य सारणी:

X	Y	xy	(xy + xy)
0	0	0	0
0	1	0	0
1	0	0	0
1	1	1	1

इन सभी सारणियों में इनपुट चर के सभी संभावित संयोजन और प्रत्येक तार्किक अभिव्यक्ति के लिए संबंधित आउटपुट दिखाए गए हैं।

बहुत छोटे उत्तर प्रश्न।

1. दशमलव और हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली के बीच का अंतर।
   उत्तर: दशमलव प्रणाली आधार 10 पर आधारित होती है, जिसमें अंक 0 से 9 होते हैं। हेक्साडेसिमल प्रणाली आधार 16 पर आधारित होती है, जिसमें अंक 0 से 9 और अक्षर A से F होते हैं (जहां A = 10, B = 11, ... F = 15)।

2. बाइनरी जोड़ और घटाव प्रक्रिया लिखें।
   उत्तर: बाइनरी जोड़ और घटाव:
   बाइनरी जोड़ के नियम:
   0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 10 (कैरी 1)।
   बाइनरी घटाव के नियम:
   0 - 0 = 0, 1 - 0 = 1, 1 - 1 = 0, 0 - 1 = 1 (उधार 1)।

3. ऑक्टल संख्या प्रणाली के बारे में संक्षिप्त जानकारी दें।
   उत्तर: ऑक्टल प्रणाली एक आधार 8 की संख्या प्रणाली है। इसमें अंक 0 से 7 होते हैं। ऑक्टल का उपयोग सामान्यतः कंप्यूटिंग में बाइनरी के लिए संक्षिप्त रूप के रूप में किया जाता है, क्योंकि प्रत्येक ऑक्टल अंक तीन बाइनरी अंकों के अनुरूप होता है।

4. बाइनरी संख्या प्रणाली में 0 और 1 का क्या महत्व है?
   उत्तर: बाइनरी प्रणाली 0 और 1 का उपयोग जानकारी को प्रदर्शित करने के लिए करती है। ये दो अवस्थाएँ (बंद/चालू) डिजिटल इलेक्ट्रॉनिक्स और कंप्यूटिंग में महत्वपूर्ण हैं क्योंकि ये सीधे इलेक्ट्रॉनिक सर्किट की लॉजिक से मेल खाती हैं।

5. हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली क्या है?
   उत्तर: हेक्साडेसिमल प्रणाली एक आधार 16 की संख्या प्रणाली है। इसमें अंक 0-9 और अक्षर A-F होते हैं (A = 10, B = 11, ..., F = 15)। हेक्साडेसिमल का उपयोग अक्सर कंप्यूटिंग में बड़े बाइनरी नंबरों का संक्षिप्त प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है।

6. पहले 15 बाइनरी और हेक्साडेसिमल नंबरों को तालिका में लिखें।
   उत्तर: पहले 15 बाइनरी और हेक्साडेसिमल नंबर:

दशमलव	बाइनरी	हेक्साडेसिमल
1	0001	1
2	0010	2
3	0011	3
4	0100	4
5	0101	5
6	0110	6
7	0111	7
8	1000	8
9	1001	9
10	1010	A
11	1011	B
12	1100	C
13	1101	D
14	1110	E
15	1111	F

7. बाइनरी संख्याओं को दशमलव संख्याओं में कैसे परिवर्तित किया जाता है?
   उत्तर: बाइनरी संख्या को दशमलव में परिवर्तित करने के लिए, प्रत्येक बाइनरी अंक को 2 की शक्ति से गुणा करें (जिसकी स्थिति से शुरू करके 0 दाएं से), फिर परिणामों का योग करें।

8. निम्नलिखित बाइनरी संख्याओं को दशमलव में परिवर्तित करें:

   (a) (101)₂
   (b) (100001)₂
   (c) (11001)₂
   (d) (1111)₂

   उत्तर:
   (a) (101)₂:
   = 1 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰ = 5 (दशमलव)।

   (b) (100001)₂:
   = 1 × 2⁵ + 0 × 2⁴ + 0 × 2³ + 0 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰ = 33 (दशमलव)।

   (c) (11001)₂:
   = 1 × 2⁴ + 1 × 2³ + 0 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰ = 25 (दशमलव)।

   (d) (1111)₂:
   = 1 × 2³ + 1 × 2² + 1 × 2¹ + 1 × 2⁰ = 15 (दशमलव)।