संख्या प्रणाली

संख्याओं को दर्शाने और उनके साथ काम करने की तकनीक को संख्या प्रणाली कहा जाता है। दशमलव संख्या प्रणाली सबसे सामान्य संख्या प्रणाली है। अन्य लोकप्रिय संख्या प्रणालियों में बाइनरी संख्या प्रणाली, ऑक्टल संख्या प्रणाली, हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली आदि शामिल हैं।

बाइनरी नंबर सिस्टम:-   0 और 1 इन दो अंकों वाली संख्या प्रणाली को बाइनरी नंबर सिस्टम कहा जाता है। प्रत्येक बाइनरी अंक को बिट भी कहा जाता है। बाइनरी संख्या प्रणाली भी स्थितीय मूल्य प्रणाली है, जहां प्रत्येक अंक का मान 2 की शक्तियों में व्यक्त होता है, जैसा कि यहां प्रदर्शित किया गया है। बाइनरी संख्या प्रणाली, जिसे बेस-2 के रूप में भी जाना जाता है, एक अंक प्रणाली है जो केवल दो अंकों, 0 और 1 का उपयोग करती है। यह डिजिटल कंप्यूटर और डिजिटल सिस्टम में उपयोग की जाने वाली सबसे मौलिक अंक प्रणाली है। बाइनरी में, प्रत्येक अंक को "बिट" ("बाइनरी डिजिट" का संकुचन) कहा जाता है। बाइनरी संख्या में प्रत्येक बिट की स्थिति 2 की शक्ति का प्रतिनिधित्व करती है।

दशमलव(DECIMAL) संख्या प्रणाली:- दशमलव संख्या प्रणाली, जिसे आधार-10 प्रणाली के रूप में भी जाना जाता है, पूर्णांक और गैर-पूर्णांक संख्याओं को दर्शाने के लिए मानक प्रणाली है। यह संख्याओं को दर्शाने के लिए 0 से 9 तक दस अंकों का उपयोग करता है। दशमलव संख्या में प्रत्येक अंक की स्थिति 10 की शक्ति है। सबसे दाहिना अंक इकाइयों का प्रतिनिधित्व करता है, बाईं ओर का अगला अंक दसियों का प्रतिनिधित्व करता है, फिर सैकड़ों का, और इसी तरह। प्रत्येक अंक का मान 10 की संगत घात से गुणा किया जाता है।

अष्टक (OCTAL) संख्या प्रणाली:-अष्टक संख्या प्रणाली, जिसे आधार-8 के रूप में भी जाना जाता है, एक अंक प्रणाली है जो आठ अंकों का उपयोग करती है: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, और 7। यह एक स्थितीय संख्या प्रणाली है, बिल्कुल दशमलव प्रणाली (बेस-10) और बाइनरी सिस्टम (बेस-2) की तरह। अष्टाधारी संख्या में प्रत्येक अंक 8 की शक्ति का प्रतिनिधित्व करता है।

अष्टाधारी (OCTAL)  संख्या प्रणाली तालिका

हम ऑक्टल संख्याओं को दर्शाने के लिए केवल 3 बिट्स का उपयोग करते हैं। प्रत्येक समूह का 000 और 111 के बीच एक अलग मान होगा।

Octal Digital Value	Binary Equivalent
0	000
1	001
2	010
3	011
4	100
5	101
6	110
7	111

हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली:- हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली, जिसे अक्सर हेक्स के रूप में संक्षिप्त किया जाता है, एक आधार-16 अंक प्रणाली है। यह सोलह अंकों का उपयोग करता है: 0-9 और अक्षर ए-एफ, जहां ए 10 का प्रतिनिधित्व करता है, बी 11 है, सी 12 है, डी 13 है, ई 14 है, और एफ दशमलव में 15 है। हेक्साडेसिमल दशमलव (बेस-10) और बाइनरी (बेस-2) सिस्टम के समान एक स्थितीय अंक प्रणाली है।

हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली तालिका

नीचे बाइनरी और दशमलव संख्या प्रणालियों के समतुल्य मानों के साथ हेक्साडेसिमल संख्या प्रणालियों की तालिका दी गई है।

Decimal Numbers	4-bit Binary Number	Hexadecimal Number
0	0000	0
1	0001	1
2	0010	2
3	0011	3
4	0100	4
5	0101	5
6	0110	6
7	0111	7
8	1000	8
9	1001	9
10	1010	A
11	1011	B
12	1100	C
13	1101	D
14	1110	E
15	1111	F

संख्या प्रणाली परिवर्तन

दशमलव से बाइनरी

दशमलव संख्या को समतुल्य बाइनरी संख्या में बदलने के लिए हमें मूल संख्या प्रणाली को 2 से विभाजित करना होगा जब तक कि भागफल 0 न हो जाए, जब कोई और विभाजन संभव नहीं है। इस प्रकार प्राप्त शेष को एलएसबी (न्यूनतम महत्वपूर्ण बिट) से एमएसबी (सबसे महत्वपूर्ण बिट) के क्रम में आवश्यक संख्या के लिए गिना जाता है। आइए उदाहरण के माध्यम से जानें।

उदाहरण: 2610 को बाइनरी संख्या में बदलें।

समाधान: दिया गया 2610 एक दशमलव संख्या है।

26 को 2 से विभाजित करें

26/2 = 13 शेष →0 (एमएसबी)

13/2 = 6 शेष →1

6/2 = 3 शेष →0

3/2 = 1 शेष →1

½ = 0 शेष →1 (एलएसबी)

इसलिए, समतुल्य बाइनरी संख्या (11010)2 है

दशमलव से अष्टक(OCTAL)

यहां दशमलव संख्या को 8 से विभाजित करना आवश्यक है जब तक कि भागफल 0 न हो जाए। फिर, उसी तरह, हम समतुल्य अष्टक संख्या प्राप्त करने के लिए शेष को एलएसबी से एमएसबी तक गिनते हैं।

उदाहरण: 6510 को एक अष्टक संख्या में बदलें।

8 से भाग दें

65/8 = 8 शेष →1 (एमएसबी)

8/8 = 1 शेष →0

⅛ = 0 शेष →1 (एलएसबी)

अत: समतुल्य अष्टक संख्या (101)8 है

दशमलव से हेक्साडेसिमल

समतुल्य हेक्स प्राप्त करने के लिए यहां दी गई दशमलव संख्या को 16 से विभाजित किया गया है। संख्या का विभाजन तब तक जारी रहता है जब तक हमें भागफल 0 नहीं मिल जाता।

उदाहरण: 12710 को हेक्साडेसिमल संख्या में बदलें।

16 से भाग दें

127/16 = 7 शेष →15

7/16 = 0 शेष → 7

हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली में, अक्षर F को 15 माना जाता है।

अतः, 12710 7F16 के बराबर है

बाइनरी रूपांतरण

बाइनरी से दशमलव रूपांतरण चरण

सबसे पहले, दिए गए बाइनरी नंबर को लिखें और 2 की शक्तियों (POWER)को दाएं से बाएं तक गिनें (0 से शुरू होने वाली शक्तियां)

1. अब, प्रत्येक बाइनरी अंक (दाएं से बाएं) को 2 की संबंधित शक्तियों (POWER) (दाएं से बाएं) के साथ लिखें, जैसे कि पहला बाइनरी अंक (एमएसबी) 2 की सबसे बड़ी शक्ति के साथ गुणा किया जाएगा।
2. उपरोक्त चरण में सभी उत्पाद जोड़ें
3. अंतिम उत्तर आवश्यक दशमलव संख्या होगी
4. आइये इस रूपांतरण को एक उदाहरण की सहायता से समझते हैं।
5. बाइनरी से दशमलव रूपांतरण का उदाहरण:
6. बाइनरी संख्या (1101)2 को दशमलव संख्या में बदलें।

दी गई द्विआधारी संख्या = (1101)2

अब, आधार संख्या 2 की शक्ति को कम करने के साथ प्रत्येक अंक को MSB से LSB तक गुणा करें।

1 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20

= 8 + 4 + 0 + 1

= 13

इस प्रकार, दी गई बाइनरी संख्या (1101)2 के लिए समतुल्य दशमलव संख्या (13)10 है

बाइनरी से ऑक्टल में रूपांतरण

संख्या प्रणाली में, आपको विभिन्न प्रकार की संख्याएँ मिलेंगी जैसे बाइनरी, ऑक्टल, दशमलव और हेक्साडेसिमल। बाइनरी संख्याओं को अष्टक संख्याओं में बदलने के लिए, नीचे दिए गए चरणों का पालन करें:

दिया गया बाइनरी नंबर लें

1. प्रत्येक अंक को 2n-1 से गुणा करें जहां n दशमलव से अंक की स्थिति है
2. परिणामी दी गई बाइनरी संख्या के लिए समतुल्य दशमलव संख्या है
3. दशमलव संख्या को 8 से विभाजित करें
4. शेष को नोट करें
5. उपरोक्त दो चरणों को भागफल के साथ तब तक जारी रखें जब तक कि भागफल शून्य न हो जाए
6. शेष को उल्टे क्रम में लिखिए
7. परिणामी दी गई बाइनरी संख्या के लिए आवश्यक अष्टक संख्या है

बाइनरी से हेक्स रूपांतरण

एक बाइनरी नंबर का आधार 2 होता है और इसमें केवल दो अंक होते हैं, यानी 0 और 1। कंप्यूटर अनुप्रयोगों में इसका प्रमुख उपयोग होता है। हेक्साडेसिमल संख्याओं को आधार 16 द्वारा दर्शाया जाता है। यह 0 से 9 अंकों का उपयोग करता है और उच्च संख्याओं के लिए, इसे अंग्रेजी वर्णमाला जैसे ए, बी, सी, डी, ई और एफ द्वारा दर्शाया जाता है। बाइनरी नंबर को हेक्साडेसिमल में बदलना एक आसान तरीका है। हमें दी गई बाइनरी संख्या को 4 के जोड़े में समूहित करना होगा और फिर नीचे दी गई तालिका से समतुल्य हेक्साडेसिमल संख्या ज्ञात करनी होगी।

बाइनरी अंकगणित  बाइनरी गणित बाइनरी संख्या प्रणाली का उपयोग करके किए गए गणितीय कार्यों को संदर्भित करता है, जो आधार -2 अंक प्रणाली है। बाइनरी प्रणाली में, संख्याओं को केवल अंक 0 और 1 का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है। बाइनरी संख्या में प्रत्येक अंक को "बिट" कहा जाता है। यहां बाइनरी गणित में कुछ बुनियादी अवधारणाएं और संचालन दिए गए हैं: बाइनरी संख्याएं केवल दो अंकों से बनी होती हैं: 0 और 1. बाइनरी संख्या प्रणाली में, 1 और 0 के अलावा किसी अन्य संख्या का उपयोग नहीं किया जा सकता है।

1. बाइनरी जोड़: बाइनरी में जोड़ तालिका इस प्रकार है

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 10 (1 को अगले कॉलम में ले जाएँ)

2. बाइनरी घटाव: दशमलव घटाव के समान लेकिन उधार लेने के नियमों के साथ। बाइनरी में घटाव तालिका इस प्रकार है:

0 – 0= 0

1 - 0 = 1

1 - 1 = 0

0 - 1 = 1 (अगले कॉलम से 1 उधार लें)

3. बाइनरी गुणन:

◦ दशमलव गुणन के समान लेकिन इसमें 0 या 1 से गुणा करना शामिल है। बाइनरी में गुणन तालिका दशमलव की तुलना में सरल है। द्विआधारी गुणन के नियम इस प्रकार हैं।

0 X 0 = 0

0 X 1 = 0

1 X 0 = 0

1 X 1 = 1

4. बाइनरी डिवीजन: बाइनरीविभाजन के नियम इस प्रकार हैं।

0 ÷ 0 = अपरिभाषित

0 ÷ 1 = 0

1 ÷ 0 = अपरिभाषित

1 ÷ 1 = 1